Планируется взять кредит на сумму

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год – 240 000 рублей.

Распишем все по порядку: что будет происходить с нашими деньгами.

На дворе июль месяц, и мы собрались брать 300 000 рублей в кредит. Очень надеюсь, что на что-то стоящее, а не на айфон 102S. Взяли…

Наступит январь. Дед Мороз сделает нам не очень хороший подарок и увеличит долг по кредиту на r%. Как это записать математически?

Во-первых, давайте сначала представим процент в виде дроби:

Во-вторых, узнаем, на сколько наш долг увеличится. Найдем r% от исходной суммы (другими словами, часть от числа):

В итоге мы должны будем банку за первый год

Потом надо будет сколько-то денег выплатить. В первом году мы планируем накопить 160 000 рублей и отдать их банку.

После выплаты мы должны будем банку на 160 000 рублей меньше, а именно:

Спустя несколько месяцев снова наступит январь и проценты опять накапают, только уже не от 300 000 рублей, а от (140 000+3 000r) рублей.

И опять узнаем на сколько процентов долг увеличился:

И прибавим это неизвестное число к долгу:

В конечном итоге наступит момент, когда мы выплатим 240 000 рублей и освободимся от рабства перед банком! Математически это будет выглядеть в виде уравнения:

Возникла проблемка: как извлечь корень из 313 600?

Попробуем сделать это прикидкой.

Искомое число явно кончается на 0, т.к. у 313 600 два нуля на конце. Значит попробуем найти корень из 3 136, а потом к результату подпишем 0.

Подумаем, между какими числами находится корень из 3 136?

50²=2500, 60²=3600. Значит,

Источник: http://xn--80aaasqmjacq0cd6n.xn--p1ai/app/examples/view/Tekstovye-zadachi/Sotcialno-ekonomicheskaya-zadacha/

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Итак, мы взяли кредит и наступил первый январь. Нам начислили аж 40% сверху (нервно кусаю локти)! Надеюсь в реальности такого никогда не будет :). Чтобы посчитать, сколько мы теперь должны банку надо найти 40% от 545 000 и это число прибавить к исходной сумме. Считаем:

0,4*545 000+545 000=763 000 рублей.

Далее происходит выплата. Ее размер неизвестен – обозначаем за икс. На математическом языке запись будет такая:

Наступил второй январь. Снова нам сверху упали 40% годовых только уже не от исходной суммы в 545 000, а от суммы после выплаты. Снова считаем сколько мы должны банку. Для этого находим 40% уже от (763 000-х) рублей и прибавляем это же число к результату. Получаем такую запись:

0,4*( 763 000-х )+ 763 000-х =305 200-0,4х+763 000-х= 1 068 200-1,4х рублей.

Выплачиваем некоторую сумму х, равную предыдущей выплате:

1 068 200-1,4х-х= 1 068 200-2,4х .

И, наконец, долгожданный третий январь пришел! Делаем все то же самое: ищем сколько мы должны банку.

0,4*( 1 068 200-2,4х )+ 1 068 200-2,4х =427 280-0,96х+1 068 200-2,4х=1 495 480-3,36х.

Выплачиваем х рублей в третий и последний раз и говорим кредиту «прощай!».

1 495 480-3,36х-х=0;

х=343 000 рублей – ежегодная выплата.

Ежегодных выплат было 3, значит мы выплатили банку, помимо той суммы, что взяли, 343 000*3=1 029 000 рублей.

Источник: http://xn--80aaasqmjacq0cd6n.xn--p1ai/app/examples/view/Tekstovye-zadachi/Sotcialno-ekonomicheskaya-zadacha1/

Планируется взять кредит на сумму

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Пусть X (рублей) — нужно платить ежегодно.

В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.

После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 — X.

В январе сумма долга составит (9662400 — X)*1,2.

После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т.е.

(((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0.

Решим это уравнение и найдем X.

((9662400*1,2-1,2X — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0,

(9662400*1,2 2 — 2,64X-X)*1,2 — X = 0,

9662400*1,2 3 — 4,368X — X = 0,

5,368X = 9662400*1,2 3 ,

Ответ: 3 110 400.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Пусть в банке было взято X млн. руб.

В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.

После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X — 2,16.

В январе сумма долга будет составлять (1,2 cdot (1,2 X — 2,16) = 1,2^2 cdot X — 2,592.)

После 2 платежа сумма долга составит: (1,2^2 cdot X — 1,2cdot 2,16 — 2,16 = 1,2^2 cdot X-4,752).

В январе сумма долга будет составлять (1,2 cdot (1,2^2 cdot X-4,752) = 1,2^3 cdot X — 5,7024).

После 3 платежа сумма долга составит: (1,2^3 cdot X — 5,7024 — 2,16 = 1,2^3 cdot X-7,8624).

Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т.е.

(1,2^3 cdot X-7,8624 = 0),

(1,2^3 cdot X = 7,8624),

То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

В январе сумма долга составит ((1+a/100) cdot 100 000 = 100 000+1000a).

После 1 платежа долг будет равен (100 000+1000a — 55000 = 45000+1000a).

В январе сумма долга составит ((1+a/100) cdot(45000+1000a)).

После 2 платежа долг будет равен ((1+a/100) cdot(45000+1000a) — 69 000).

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

((1+a/100) cdot(45000+1000a) — 69 000 = 0,)

( 45000+1000a +450a + 10a^2 — 69000 = 0),

(a^2 +145a — 2400 = 0),

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.

Пусть X (рублей) — сумма ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — X.

В январе сумма долга составит (1,2 cdot (1,2 * 4026000 — X) = 1,2^2 cdot 4026000 — 1,2X).

После 2 платежа долг будет равен (1,2^2 cdot 4026000 — 1,2X — X = 1,2^2 cdot 4026000 — 2,2X).

В январе сумма долга составит (1,2 cdot (1,2^2 cdot 4026000 — 2,2X) = 1,2^3 cdot 4026000 — 2,64X).

После 3 платежа долг будет равен (1,2^3 cdot 4026000 — 2,64X — X = 1,2^3 cdot 4026000 — 3,64X).

После 4 платежа долг будет равен (1,2^4 cdot 4026000 — 4,368X — X = 1,2^4 cdot 4026000 — 5,368X).

Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:

(5,368X = 1,2^4 cdot 4026000),

А за все 4 года выплаченная сумма составит (4 cdot 1 555 200 = 6 220 800.)

Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.

Пусть Y (руб.) — размер ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — Y.

В январе сумма долга составит (1,2 cdot (1,2 * 4026000 — Y) = 1,2^2 cdot 4026000 — 1,2Y).

После 2 платежа долг будет равен (1,2^2 cdot 4026000 — 1,2Y — X = 1,2^2 cdot 4026000 — 2,2Y).

Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:

(1,2^2 cdot 4026000 — 2,2Y = 0,)

(2,2Y =1,2^2 cdot 4026000),

А за 2 года выплаченная сумма составит (2 cdot 2 635 200 = 5 270 400.)

Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:

Источник: http://mathexam.ru/c19/c19_3.html

Задание №1006

Условие

В мае планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый год в январе месяце долг повышается на 10% по сравнению с концом прошедшего года;
• с февраля по апрель каждого года нужно выплатить часть долга;
• долг в мае каждого года должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.

На сколько лет берется кредит, если известно, что сумма всех выплат по кредиту составит 6 млн. рублей?

Решение

Пусть кредит планируется взять на n лет. Ежегодный платеж состоит из двух частей — одна и та же сумма x=frac млн рублей, на которую каждый год уменьшается сумма кредита (долга), и плата за пользование кредитом, которая составляет 10% от оставшегося долга. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно: 5;,5-x;,5-2x;. ,5-(n-1)x.

Ежегодные выплаты процентов за пользование кредитом составят (в млн рублей): 0,1 cdot5;, 0,1 cdot (5-x);, 0,1 cdot (5-2x);. , 0,1 cdot (5-(n-1)x).

Сумму выплат процентов за пользование кредитом посчитаем как сумму арифметической прогрессии.

0,1 cdot 5+0,1 cdot (5-x)+0,1 cdot (5-2x)+ . +0,1 cdot (5-(n-1)x)= 0,1(5+(5-x)+(5-2x)+ . +(5-(n-1)x))= 0,1 cdot frac cdot n= 0,1 cdot fracright ) cdot n>= 0,1 cdot frac= frac= frac.+1>

За n лет клиент банка должен выплатить 5 млн рублей кредита и проценты за пользование кредитом fracмлн рублей, что по условию равно 6 млн рублей.+1>

Источник: http://academyege.ru/task/1006.html

Планируется взять кредит на сумму

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.

Обозначим через

размер кредита, т.е. млн рублей. По условию задачи каждый год кредит увеличивается на r%, т.е. становится равный , а затем, делается платеж так, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, т.е. в первый раз платеж должен быть равен и долг становится

.

На следующий год осуществляются подобные действия, долг увеличивается на r%, а платеж вносится в размере

:

.

В последний год сумма платежа будет равна

.

Из этих выражений видно, что максимальная сумма платежа приходится на 1-й год, а минимальная – на последний. Следовательно, получаем два неравенства:

Выражаем неизвестное r, подставляем вместо

, получим

Следовательно,

% годовых.

Источник: http://self-edu.ru/ege2016_36.php?id=5_17

Планируется взять кредит на сумму

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита S = 16 млн руб, а процентную ставку —

В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

Год

Долг в июле до начисления процентов

Долг в январе после начисления процентов

Выплата

S

Суммируем все выплаты:

Подставив численные значения, найдём n:

Аналоги к заданию № 517569: 526539 517517 521918 526343 Все

Источник: http://ege.sdamgia.ru/test?pid=526343

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет (страница 2)

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся (t^2) часов в день, то завод выпускает (t) единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет (500) рублей в час, на втором заводе – (300) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется (1,200,000) рублей.

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Пусть на первом заводе рабочие трудились (t^2) часов, тогда завод выпустил (t) единиц продукции; пусть на втором трудились (p^2) часов, тогда завод выпустил (p) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины (T=t+p) . Так как заработная плата в час составляет (500) и (300) рублей на первом и втором заводах соответственно, то (1,200,000=100(5t^2+3p^2)) .
Выразим (t=T-p) и подставим в уравнение: [1,200,000=100(5(T-p)^2+3p^2) quadLeftrightarrowquad 8p^2-10Tp+5T^2-12000=0] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: [D=100T^2-4cdot 8(5T^2-12000)=4cdot 8cdot 12000-60T^2geqslant 0] Отсюда получаем, что (T^2leqslant 4cdot 8cdot 200=8^2cdot 10^2) , следовательно, (Tin [0;80]) (учитывая, что (Tgeqslant 0) , так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное (T) – это (T=80) .
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для (t) и (p) (так как это количество продукции).
При (T=80) дискриминант (D=0) , следовательно, [p=dfrac=50 quadRightarrow quad t=80-50=30.] Таким образом, проверка удалась и ответом является (T=80) .

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на (r%) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите (r) , если известно, что если ежегодно выплачивать по (777,600) рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по (1,317,600) рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково — ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.01.2020 в 12:00

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на (r%) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Найдите (r) , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на (120%) больше суммы, взятой в кредит.

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Пусть (A) рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим (0,01r=y) и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. [beginhline text&text%&text% &text\ hline 1 & A & A+ ycdot A & ycdot A+frac A\ hline 2 & A-frac A & A-frac A+ycdot left(A-frac Aright) & ycdot left(A-frac Aright)+frac A\ hline . & . & . & . \ hline 15 & frac A & frac A+ycdot frac A & ycdot frac A+frac A\ hline end] Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на (120%) , то это значит, что переплата составляет (120%) от кредита. Следовательно: [begin & ycdot A+ycdot left(A-frac Aright)+dots+ycdot frac A=1,2AquadLeftrightarrowquad \[2ex] Leftrightarrowquad &ycdot Acdot left(1+left(1-frac1right)+dots+frac1right)=1,2end] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где (a_1=1) , (a_=frac1) . Следовательно: [ycdot Acdot dfrac>2cdot 15=1,2AquadLeftrightarrowquad 8y=1,2quadLeftrightarrowquad y=0,15] Следовательно, [r=100y=15 (%)]

15 января планируется взять кредит в банке на сумму (9) млн. рублей на некоторое целое число месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на (20%) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит (3,6) млн. рублей?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом: [beginhline text&text%&text% &text\ hline 1 & 9 & 9+0,2cdot 9 & 0,2cdot 9+frac9n\ hline 2 & 9-frac9n & 9-frac9n+0,2cdot left(9-frac9nright) & 0,2cdot left(9-frac9nright)+frac9n\ hline . & . & . & . \ hline n & frac9n & frac9n+0,2cdot frac9n & 0,2cdot frac9n +frac9n\ hline end] Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей: [0,2cdot left(9+9-frac9n+dots+frac9nright)+ncdot frac9n= 0,2cdot left(9+9-frac9n+dots+frac9nright)+9] Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно, [0,2cdot 9+frac9n=3,6quadRightarrowquad n=5] Таким образом, общая сумма выплат равна [0,2cdot left(9+left(9-frac95right)+left(9-2cdot frac95right)+ left(9-3cdot frac95right)+frac95right)+9=0,2cdot left(9cdot 4-5cdot frac95right)+9=14,4]

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на (30%) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на (156,060) рублей?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково — ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.01.2020 в 12:00

В июле планируется взять кредит в банке на сумму (7) млн. рублей на некоторых срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на (20%) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (17,5) млн. рублей?

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если (n) – количество лет, на которое взят кредит в (7) млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на (frac7n) млн. рублей. Значит, в последний, (n) -ый год, долг будет равен (frac7n) млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс (frac7n) млн. рублей.
Составим таблицу: [beginhline text&text%&text% &text\ hline 1 & 7 & 7+0,2cdot 7 & 0,2cdot 7+frac7n\ hline 2 & 7-frac7n & 7-frac7n+0,2left(7-frac7nright) & 0,2left(7-frac7nright)+frac7n\ hline . & . & . & . \ hline n & frac7n & frac7n+0,2cdot frac7n & 0,2cdot frac7n+frac7n\ hline end] Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”: [0,2cdot 7+0,2cdot left(7-dfrac7nright)+dots +0,2cdot dfrac7n= 0,2cdot left(7+left(7-frac7nright)+dots+dfrac7nright)=] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен (7) , разность равна (-frac7n) , последний член равен (frac7n) , а всего членов (n) штук. Следовательно, [=0,2cdot dfrac2cdot n=0,7(n+1)] Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила (17,5) млн. рублей, а в кредит было взято (7) млн. рублей, то переплата равна (10,5) млн. рублей. Следовательно, [0,7(n+1)=10,5quadRightarrowquad n=14]

Источник: http://shkolkovo.net/catalog/slozhnye_zadachi_prikladnogo_haraktera/ege_proshlyh_let_2/page-2

Планируется взять кредит на сумму

Задание 17. 15-го июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Начальная сумма кредита составляет S = 1300 тыс. рублей. В течение 15 месяцев она равномерно уменьшается до M = 100 тыс. рублей. Без учета процентов ежемесячные выплаты составят:

тыс. рублей.

Получаем последовательность из 15 чисел:

1300, 1220, 1140, 1060, …, 100.

Так как каждый месяц начисляются проценты, то реальные выплаты увеличиваются на величину этих процентов:

Далее, добавляем сумму M и проценты за 1 месяц, получаем общую сумму выплат:

Источник: http://self-edu.ru/ege2019_36.php?id=3_17

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».

Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».

Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.

Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей ).

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно . Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга .

О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.

Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.

Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,

Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).

Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),

p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза. В нашей задаче k = 1,03.

Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:

После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).

Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
…

Последняя выплата: k ( S – 20 X).

Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).

Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.

Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.

В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:

В этой задаче мы тоже ее используем.

k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.

Осталось подставить числовые значения.

S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.

Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,

Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.

Первая выплата: kS – (S – X).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – n X).

По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.

Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:

1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения

Общая сумма выплат Z:

Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).

Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:

Подставим данные из условия задачи.

Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!

3.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,

n = 21 – количество месяцев,

Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z – общая сумма выплат.

Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.

Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.

Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).

Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).

Ответ: 384000 рублей.

Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Источник: http://ege-study.ru/ru/ege/podgotovka/matematika/razbor-zadachi-17-bankovskaya-ili-ekonomicheskaya-na-ege-po-matematike-2018-goda/